[2015년 백석고]

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[2학년(이과) 2학기 중간 미적분2]

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f(x)=2 ^{ax+b}]이 다음 두 조건을 모두 만족시킬 때, [eqn: a-b]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수)

⑤

(가) [eqn: f LEFT ( {5} over {2} RIGHT ) =2 sqrt {2}]

(나) 임의의 실수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여 [eqn: f(x+y)=2f(x)f(y)]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

함수 [eqn: y=log _{2} LEFT ( {x} over {8} -1 RIGHT )]의 그래프는 함수 [eqn: y=log _{2} x]의 그래프는 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: m]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: n]만큼 평행이동시킨 것이라 할 때, [eqn: m+n]의 값은?

②

① [eqn: 4 from =========================================================================================== 족보닷컴(zocbo.com) 본 해설은 족보닷컴에서 직접 풀이하고 입력하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. ===========================================================================================]	② [eqn: 5 from =========================================================================================== 족보닷컴(zocbo.com) 본 해설은 족보닷컴에서 직접 풀이하고 입력하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. ===========================================================================================]	③ [eqn: 6 from =========================================================================================== 족보닷컴(zocbo.com) 본 해설은 족보닷컴에서 직접 풀이하고 입력하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. ===========================================================================================]

④ [eqn: 7 from =========================================================================================== 족보닷컴(zocbo.com) 본 해설은 족보닷컴에서 직접 풀이하고 입력하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. ===========================================================================================]	⑤ [eqn: 8 from =========================================================================================== 족보닷컴(zocbo.com) 본 해설은 족보닷컴에서 직접 풀이하고 입력하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. ===========================================================================================]

로그부등식 [eqn: 2log _{2} (x-4) LEQ log _{2} (x-1)+2]를 만족시키는 모든 자연수 [eqn: x]의 개수는?

③

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

그림과 같이 평면 위에 있는 사각형 [eqn: rm OABC]가 [eqn: rm bar{OA} = bar{OB} = bar{OC}], [eqn: rm ANGLE AOB= {1} over {2} ANGLE BOC= theta], [eqn: cos theta = {2} over {5}]를 만족시킨다. [eqn: rm ANGLE BAC= alpha],
[eqn: rm ANGLE BCA= beta]라 할 때, [eqn: tan ^{2} ( alpha - beta )]의 값은?

④

① [eqn: {3} over {10}]	② [eqn: {7} over {10}]	③ [eqn: {1} over {7}]

④ [eqn: {3} over {7}]	⑤ [eqn: {5} over {7}]

등식 [eqn: sin theta -cos theta = {1} over {2}]를 만족하는 [eqn: theta]에 대하여 [eqn: cos4 theta]의 값은?

①

① [eqn: - {1} over {8}]	② [eqn: - {1} over {16}]	③ [eqn: {1} over {4}]

④ [eqn: {1} over {8}]	⑤ [eqn: {1} over {16}]

함수 [eqn: f(x)= {cases{{ax} over {e ^{3x} -1}&(x>0)#{2tanx} over {9x+sinx}&(x<0)}}]에 대하여 극한값 [eqn: lim _{x -> 0}{`} f(x)]가 존재할 때, 실수 [eqn: a]의 값은?

⑤

① [eqn: - {3} over {5}]	② [eqn: - {2} over {9}]	③ [eqn: {1} over {15}]

④ [eqn: {2} over {9}]	⑤ [eqn: {3} over {5}]

[eqn: sin alpha = {4} over {5}], [eqn: sin beta = {12} over {13}]일 때, [eqn: tan LEFT ( {alpha + beta } over {2} RIGHT ) = {q} over {p}]라 하자. 이때, [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: 0 LEQ alpha LEQ {pi } over {2}], [eqn: 0 LEQ beta LEQ {pi } over {2}]이고, [eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

①

① [eqn: 11]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 21]

④ [eqn: 31]	⑤ [eqn: 53]

그림과 같이 [eqn: y=a`cos pi LEFT ( {2} over {3} x-k RIGHT ) +b]의 그래프에서 [eqn: 1], [eqn: c], [eqn: d]는 [eqn: x]축과 만나는 점의 [eqn: x]좌표이다. 이때, 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: k]에 대하여
[eqn: k(a+b+c+d)]의 값은? (단, [eqn: c], [eqn: d]의 단위는 라디안이고
[eqn: 0<k<1]이다.)

③

① [eqn: 2]	② [eqn: {7} over {3}]	③ [eqn: {8} over {3}]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: {10} over {3}]

[eqn: 0 LEQ x< pi]일 때, 방정식 [eqn: sin2x+sin4x=0]을 만족시키는 모든 근의 합은?

②

① [eqn: pi]	② [eqn: {3} over {2} pi]	③ [eqn: 2 pi]

④ [eqn: {5} over {2} pi]	⑤ [eqn: 3 pi]

함수 [eqn: y=k CDOT 3 ^{x} (0<k<1)]의 그래프가 두 함수 [eqn: y=3 ^{-x}],
[eqn: y=-5 CDOT 3 ^{x} +7]의 그래프와 만나는 점을 각각 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]라 하자. 점 [eqn: rm P]와 점 [eqn: rm Q]의 [eqn: x]좌표의 비가 [eqn: 1:2]일 때, [eqn: k]의 값은?

①

① [eqn: {5} over {6}]	② [eqn: {4} over {7}]	③ [eqn: {5} over {7}]

④ [eqn: {6} over {7}]	⑤ [eqn: {5} over {8}]

자연수 [eqn: n from =========================================================================================== 족보닷컴(zocbo.com) 본 해설은 족보닷컴에서 직접 풀이하고 입력하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. ===========================================================================================]에 대하여 [eqn: lim _{x -> INF } {} LEFT ( {x+a} over {x-a} RIGHT ) ^{x} =e ^{n}]를 만족하는 실수 [eqn: a]의 값을 [eqn: a _{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {1} over {a _{n} a _{n+1}}]의 값은?

④

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

두 함수 [eqn: f(x)=2 ^{x}]과 [eqn: g(x)= {x} over {2} - LEFT [ {x} over {2} RIGHT ]]에 대하여 합성함수
[eqn: y=(f circg)(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y=- {1} over {n} x+2]([eqn: n=1], [eqn: 2], [eqn: CDOTS])의 교점의 개수를 [eqn: a _{n}]이라 하자. 이때, [eqn: sum _{n=1} ^{10} a _{n}]의 값은? (단, [eqn: [x]]는 [eqn: x]보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

②

① [eqn: 30]	② [eqn: 35]	③ [eqn: 40]

④ [eqn: 50]	⑤ [eqn: 55]

그림과 같이 두 점 [eqn: rm A(-1,```0)], [eqn: rm B(0,```1)]과 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1] 위에 있는 제[eqn: 1]사분면의 점 [eqn: rm P]에 대하여 점 [eqn: rm B]를 지나고 선분 [eqn: rm AP]에 수직인 직선이 원과 만나는 점을 [eqn: rm Q], 선분 [eqn: rm AP]와 직선 [eqn: rm BQ]의 교점을 [eqn: rm R]이라 하자. [eqn: rm ANGLE OAP= theta]라 하고 삼각형 [eqn: rm PRQ]의 넓이를 [eqn: S( theta )]라 할 때, [eqn: lim _{theta -> 0+} {} {1-2 CDOT S( theta )} over {theta ^{2} CDOT rm bar{PQ}}]의 값은?

⑤

① [eqn: 3 sqrt {2}]	② [eqn: {5} over {2} sqrt {2}]	③ [eqn: 2 sqrt {2}]

④ [eqn: {3} over {2} sqrt {2}]	⑤ [eqn: sqrt {2}]

좌표평면에서 [eqn: 2] 이상인 자연수 [eqn: n]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 정사각형의 개수를 [eqn: a _{n}]이라 하자.

예를 들어, [eqn: a _{2} =1]이다. [eqn: sum _{n=2} ^{8} a _{n}]의 값은?

(가) 정사각형의 각 꼭짓점은 영역
[eqn: LEFT { (x,```y)`|`2 ^{x} LEQ y LEQ 2 ^{x} +n RIGHT }]에 속하는 점이다.

(나) 꼭짓점의 [eqn: x]좌표, [eqn: y]좌표가 모두 [eqn: 0] 이상인
정수이고 한 변의 길이가 [eqn: 1]이다.

④

① [eqn: 44]	② [eqn: 49]	③ [eqn: 53]

④ [eqn: 59]	⑤ [eqn: 63]

그림과 같이 함수 [eqn: y=2 ^{x+1}]의 그래프 위의 한 점 [eqn: rm A]와 함수 [eqn: y=2 ^{x-2}]의 그래프 위의 두 점 [eqn: rmB], [eqn: rmC]에 대하여 선분 [eqn: rm AB]는 [eqn: x]축에 평행하고 선분 [eqn: rm AC]는 [eqn: y]축에 평행하다. [eqn: rm bar{AB} = bar{AC}]가 될 때, 점 [eqn: rm A]의 [eqn: y]좌표를 구하시오. (단, 점 [eqn: rm A]는 제[eqn: 1]사분면 위에 있다.)

[eqn: {24} over {7}]

서술형

좌표평면에서 그림과 같이 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =36] 위의 점 [eqn: rm P]와 점 [eqn: rm A(6,```0)]에 대하여 호 [eqn: rmPA]의 길이를 [eqn: 3]등분한 점을 각각 [eqn: rmQ], [eqn: rmR]이라 하고, 선분 [eqn: rmOQ]와 선분 [eqn: rmOR]의 연장선이 점 [eqn: rm P]에서의 접선과 만나는 점을 각각 [eqn: rmS], [eqn: rmT]라 하자. [eqn: rm bar{ST} = {5} over {2}]일 때, 다음 물음에 답하시오. (단, 점 [eqn: rm P]는 제[eqn: 1]사분면 위의 점이다.)

(1) [eqn: {9} over {2}]            (2) [eqn: {25} over {6}]

(1) 선분 [eqn: rmPT]의 길이를 구하시오.

(2) 점 [eqn: rmP]에서의 접선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rm U]라 할 때,
선분 [eqn: rm TU]의 길이를 구하시오.

지석이의 현재 하루 칼로리 섭취량은 [eqn: 3000 rm kcal]이다. 칼로리 섭취량을 매달 [eqn: 10%]씩 줄여 하루 칼로리 섭취량이 [eqn: 1500rm kcal] 이하가 되면 그 섭취량을 유지하기로 하였다. 칼로리 섭취량을 조절하기 시작한 지 몇 개월 후부터 하루 칼로리 섭취량을 유지하는지 구하시오. (단, [eqn: log2=0.301], [eqn: log3=0.477]로 계산한다.)

[eqn: 8]개월 후

* [eqn: 7]번 줄여서 [eqn: 8]개월 후부터 유지하라는 듯.

문제 진짜 거지같네.

지수방정식 [eqn: 3 ^{2x} -3 ^{x+1} +k=0]이 [eqn: -1]보다 큰 서로 다른 두 개의 실근을 갖도록 하는 실수 [eqn: k]의 값의 범위를 구하시오.

[eqn: {8} over {9} <k< {9} over {4}]

그림과 같이 원점 [eqn: rm O]와 점 [eqn: rm A _{1} (0,```2)]을 이은 선분 [eqn: rm OA _{1}]을 반지름으로 하고, 중심각의 크기가 [eqn: theta from =========================================================================================== 족보닷컴(zocbo.com) 본 해설은 족보닷컴에서 직접 풀이하고 입력하여 제공해 드리는 자료로 저작권법의 보호를 받습니다. 무단으로 배포, 재판매시 법적 조치를 받을 수 있습니다. ===========================================================================================]인 부채꼴 [eqn: rm OA _{1} B _{1}]을 그리고 점 [eqn: rmB _{1}]에서 [eqn: y]축에 내린 수선의 발을 [eqn: P _{1}]이라 한다. 점 [eqn: rmB _{1}]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm A _{2}]라 하고, 반지름이 선분 [eqn: rm OA _{2}]이고 중심각의 크기가 [eqn: theta]인 부채꼴 [eqn: rm OA _{2} B _{2}]를 그리고 점 [eqn: rm B _{2}]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm P _{2}]라 한다. 점 [eqn: rm B _{2}]에서 [eqn: y]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm A _{3}]라 한다. 이와 같이 시계 방향으로 [eqn: x]축과 [eqn: y]축에 번갈아 수선의 발을 내리는 과정을 계속하여 얻은 도형에서 선분 [eqn: {rm OP } _{n}]의 길이를 [eqn: l _{n}]이라 하자. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } l _{n} =4]일 때, [eqn: cos2 theta = {q} over {p}] ([eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 자연수)이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: 0< theta < {pi } over {4}]이다.)

[eqn: 32]

좌표평면에서 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]가 점 [eqn: (1,```0)]을 동시에 출발하여 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1] 위를 시계 반대방향으로 돌고 있으며, 점 [eqn: rm P]가
[eqn: 2t(0 LEQ t LEQ pi )]만큼 움직일 때 점 [eqn: rm Q]는 [eqn: t]만큼 움직인다. 점 [eqn: rm P]에서 [eqn: x]축까지의 거리를 [eqn: f(t)], 점 [eqn: rm Q]에서 [eqn: y]축까지의 거리를 [eqn: g(t)]라 할 때, [eqn: 15f(t)+16 LEFT { g(t) RIGHT } ^{2}]가 [eqn: t= theta]에서 최댓값 [eqn: M]을 가진다. [eqn: M CDOT tan theta]의 값을 구하시오.

[eqn: 15]

[2015년 백석고]

[2학년(이과) 2학기 중간 미적분2]

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